技术:只用三页纸，他就推翻了困扰学界半世纪的重要猜想

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资料来源:科学研究圈

四色猜想是数学界最有名的猜想之一，只有四色能否给其中一幅地图上色。 虽然这个猜想已经被说明是正确的，但是它的派生问题依然使数学家高兴。 最近，一位俄罗斯数学家发表了只有三页的论文，推翻了这个行业53年来存在的重要预想。

今年5月在网上发表的论文推翻了53年前提出的预想，对图的着色问题提出了新的最优解。 这篇论文只有三页，但对某些特定的网络来说，着色问题有多个数学家没有想到的更好的解法。

图的着色问题来自人们在给地图着色时的想法。 至少采用几种颜色可以保证与地图相邻边界的国家和地区的颜色不同？ 为了处理这个问题，数学家们研究了近200年。

这个问题可以进一步简化:染色一张互联网的各个节点，使任意两个连接节点的颜色不同，最少需要什么颜色？ 也

但是也只是只是只是只是只是只是只是只是只是只是只是只是这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里的444色()，两个相邻地区各自颜色分别保证了11世纪的解决。 。 。 ()也有一个世纪了。 )中被调用，将出现故障

这个，这个，这个，这个，这个，这个这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里这里5以来没有处理过，由两个不同的图形(在图中，gh )组成，用特定的方法构成的新东西。 。 。 (()). 嘻嘻嘻嘻嘻嘻

好考我能画两张图。 在一个图中，在不同点代表不同的学生，点和点之间的连接表示两个学生很好，可以配对。 另一幅图中，不同的乐器用不同的点表示，点和点的联系表示二重奏乐谱中含有这两种乐器的乐谱。 那么，这两个图的张量积所包含的点表示一个学生及其能够演奏的乐器，如果张量积的两点相连，意味着两个学生就会变得很好，乐器的种类也会成为伙伴，能够制作二重奏。

1966年，现在作为克里姆森大学( clemson university )教授的stephen hedetniemi是博士论文，提出填充张量积时所需的最小色数与填充构成它的两张图时所需的色数相同 “这是图论的重要假设。 》耶路撒冷希伯来大学( hebrew university of jerusalem )的gil kalai说:“很多研究者都考虑过这个问题。”

几十年来，数学家积累了一系列关于这个猜想的研究证据，其中一个表明它是对的，另一个认为它是错的。 数学家们对这个推测的妥当与否各有各的说法，但似乎每个人都同意。 说明和证据真伪都非常难。

“我个人认为这个猜想是真的。 因为很多聪明的人都在研究那个。 如果有的话，应该早就能找到反例了。 ”多伦多瑞尔森大学( ryerson university )的anthony bonato说。

但是，现在俄罗斯数学家yaroslav shitov提出了构建反例的简单方法:填充张量积所需的颜色比填充两个构图所需的颜色少。 加拿大本纳比·西蒙弗雷泽大学( simon fraser university )的pavol hell认为这种方法“简单，但非常巧妙”。

hell指出张量积和不同图形之间应该如何相互映射的问题密切相关。 在数学行业，hedetniemi的预想可能是最大的开放问题之一，“这篇论文的发表是重要的突破”。

五彩缤纷的派对

为了更好地理解用着色张量积的想法可以处理什么样的现实问题，请想象一下你在几个周末邀请不同的朋友去乡下的庄园，作为细心的主人，想召集有什么样共同话题的人。

我知道你的朋友在工作。 他们很快就能联系上，但没有其他人。 同样，我知道每个朋友都有兴趣爱好。 因为这些客人们可能会在派对上找到分享他们有趣和兴趣的对象。 也

好了，没用，没用，没用，没用，没用，没用。 ))最终，也是

只是这里这里这里这里这里这里这里这里这里的

很好

从这个例子可以看出，在与事业相关的图形中，任何比较有效的着色都延伸到张量积，着色时，可以用与事业相对应的颜色直接着色各个事业-喜好组合的节点。 如果根据这样的着色方法组织派对，所有的客人无论他们的兴趣如何，都会根据共同的职业有趣进行对话。 同样，有趣的图中的着色方法也可以扩展到张量积整体的图。 hedetniemi推测，两张图的着色方法中，颜色少是张量积着色的最佳做法。

表面上，hedetniemi的猜想似乎不太可靠。 毕竟，如果根据事业图的着色进行张量积的着色，就必须无视朋友们之间存在的共同兴趣，有可能原本就适合一起聚会的客人被分开了。 相反，把关于工作和兴趣的所有新闻结合起来，也许可以用更少的颜色预约周末聚会，为自己留下安静的周末时间。

但是，50多年来，数学家们还找不到张量积图形，可以用比构成它的两张图更少的颜色来填充。 他们发现，如果两个结构图中的一个着色需要4种颜色以下，hedetniemi的推测是正确的。 即使是更广泛的“分数”着色，也可以为每个节点指定2/3黄色和1/3绿色等颜色组合。 (在上述周末的家庭派对例子中，相当于有三个会打网球的记者朋友。 标记为“黄色”的周末招待其中两人，标记为“绿色”的周末招待第三人。 )中被调用，将出现故障

这些证据可能是hedetniemi的推测正确的，但也有指向相反方向的证据。 例如，数学家解释说，对于需要无限多种颜色的图形和有向图表(即，每个连接都有优先的方向性)，hedetniemi的推测不适用。 但是，即使数学家在稍大的场景中说明了hedetniemi的推测，在其他场景中推翻了推测，他们似乎也无法在hedetniemi最初考虑的情况下处理它。 也就是具有非分数着色的有限无向图。

结束争论。

现在，shitov用明确简单的说明结束这些争论，说明hedetniemi的推测是错误的。 在那篇研究论文中，他只用了一页以上密集的数学论证，表示了如何构建张量积反例，使填充它所需的颜色比填充哪个组成图所需的颜色少。

shitov首先考虑将图g和其指数图( exponential graph )之一组合形成张量积的情况。 固定数量的颜色被着色为g，可能的话用指数图表对应节点(这里不仅允许互联节点的着色不同，而且允许可能的着色)。 例如，如果图表g有七个节点，着色板上有五种颜色，则索引图有57个节点，“索引图”的名称也由此而来。

接下来，我们来看看连接节点颜色不同的着色方法。 不能保证调色板的五种颜色足以给图g着色。 同样，可能不足以着色57个节点的指数图。 但是数学家早就知道有图了，可以用这五种颜色着色。 g及其指数图生成的张量积。

事实上，所有指数图表都具有以下属性。 要着色一个图表及其指数图表的张量积，可以使用与生成指数图表所需的颜色数相同的颜色数。 shitov展示了如何构建图g，使g及其指数图比张量积图着色更多，反驳了hedetniemi的预想。

hedetniemi的预想几十年来终于被推翻了，本人说“非常高兴”。 他用电子邮件写道:“shitov的证据具备一定的优雅和简洁，而且绝对是高品质的。” 数学家们认为shitov列举的反例是聪明创造性的，不需要很多复杂尖端的数学工具。 “对图论的研究者来说，你可以用两句话来说明它的构造”，kalai说。

至于为什么这样的论点被忽视了50多年，对数学家们来说是个谜。 “小宝石经常被树叶复盖，”hell说。 “shitov只是试图比任何人都深刻地理解。 ”。

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但是，但是，也可以，也可以，但是，原来是44，44，44

现在吗？

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